Nguyên hàm tiếng Anh là gì? Cách dùng và đọc công thức

Nguyên hàm tiếng Anh là antiderivative (danh từ), phát âm /ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪv/, với trọng âm chính ở âm tiết “riv”. Trong toán học, F(x) là một antiderivative của f(x) trên một khoảng nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng đó. Nói đơn giản, nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm (derivative). Chẳng hạn, đề bài ‘Find an antiderivative of 2x’ có nghĩa là ‘Tìm một nguyên hàm của 2x’.

Có thể tách từ thành các nhịp an-ti-de-riv-a-tive; trọng âm chính rơi vào “riv”, đúng như dấu trọng âm trong phiên âm IPA. Khi làm bài tập song ngữ, đây là từ bạn sẽ gặp ngay ở phần giải tích (calculus) tiếng Anh.

Antiderivative, indefinite integral và primitive khác nhau thế nào?

Kết quả tìm kiếm thường chỉ nêu bản dịch “antiderivative”. Tuy nhiên, khi học, bạn nên phân biệt ba cụm dễ nhầm: antiderivative, indefinite integral và primitive (function).

Antiderivative thường chỉ một hàm F cụ thể thỏa mãn F′(x) = f(x). Nếu đề yêu cầu tìm một hàm như vậy, bạn có thể đưa ra một hàm đơn lẻ, chẳng hạn x² khi f(x) = 2x; không nhất thiết phải viết + C.

Indefinite integral (tích phân bất định) là ký hiệu ∫f(x)dx, biểu diễn cả họ hàm F(x) + C. Trong đó, C là hằng số tích phân (constant of integration). Nếu đề yêu cầu “evaluate”, kết quả thường cần có biểu thức tích phân kèm + C.

Primitive (function) cũng được dùng với nghĩa nguyên hàm trong một số giáo trình, nhất là theo cách dùng Anh–Anh hoặc trong sách truyền thống. Đây không phải ranh giới tuyệt đối giữa tiếng Anh Anh và Anh Mỹ; tốt nhất, bạn hãy theo quy ước của tài liệu đang học.

Khi nào dùng find an antiderivative và evaluate the indefinite integral?

Thuật ngữ	Nghĩa thường dùng	Khi nào dùng	Ví dụ câu
antiderivative	Một hàm F cụ thể sao cho F′(x) = f(x)	Khi nói về một hàm nguyên hàm cụ thể hoặc đề yêu cầu tìm một hàm như vậy	‘x² is an antiderivative of 2x.’ (x² là một nguyên hàm của 2x)
indefinite integral	Ký hiệu ∫f(x)dx và kết quả là cả họ hàm F(x) + C	Khi nói về phép toán, ký hiệu tích phân hoặc kết quả có + C	‘Evaluate the indefinite integral ∫2x dx.’ → x² + C
primitive (function)	Đồng nghĩa với antiderivative trong một số giáo trình	Khi gặp sách theo truyền thống Anh–Anh hoặc giáo trình cũ; hãy đối chiếu quy ước của tài liệu	‘Find a primitive of f(x) = cos x.’ → sin x + C

Quy tắc nhớ nhanh: đề yêu cầu find an antiderivative thường chấp nhận một hàm cụ thể, có thể không cần + C. Còn evaluate the indefinite integral thì kết quả cần có + C. Primitive là một cách gọi khác; nếu gặp trong sách lạ, bạn cứ hiểu là nguyên hàm rồi đối chiếu quy ước của sách.

Primitive có đồng nghĩa với antiderivative không?

Có. Trong toán học, cả hai đều chỉ một hàm F thỏa mãn F′(x) = f(x). Khác biệt nằm ở cách dùng trong từng giáo trình, chứ không có ranh giới cứng giữa tiếng Anh Anh và Anh Mỹ. Nếu sách viết “primitive function”, hãy hiểu là nguyên hàm và làm theo hướng dẫn của tác giả.

Bảng tra thuật ngữ nguyên hàm và giải tích Anh–Việt

Bảng dưới đây tổng hợp 16 thuật ngữ hữu ích khi đọc đề hoặc học giải tích song ngữ. Các ví dụ nguyên hàm đã được kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm để bảo đảm đúng toán.

Tiếng Anh	Từ loại	Phiên âm (IPA)	Tiếng Việt	Ghi chú ngắn
antiderivative	danh từ	/ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪv/	nguyên hàm	nhấn âm chính ở “riv”
indefinite integral	cụm danh từ	/ɪnˈdef.ɪ.nət ˈɪn.tɪ.ɡrəl/	tích phân bất định	kết quả luôn kèm + C
definite integral	cụm danh từ	/ˈdef.ɪ.nət ˈɪn.tɪ.ɡrəl/	tích phân xác định	có cận trên/dưới, cho ra một giá trị
primitive (function)	danh từ	/ˈprɪm.ɪ.tɪv/	nguyên hàm	cách gọi trong một số giáo trình
derivative	danh từ	/dɪˈrɪv.ə.tɪv/	đạo hàm	phép toán ngược với antiderivative
differentiation	danh từ	/ˌdɪf.əˌren.ʃiˈeɪ.ʃən/	phép lấy đạo hàm	động từ: differentiate
integration	danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən/	phép lấy tích phân	động từ: integrate
integrand	danh từ	/ˈɪn.tɪ.ɡrænd/	hàm dưới dấu tích phân	trong ∫f(x)dx thì f(x) là integrand
constant of integration	cụm danh từ	/ˈkɒn.stənt əv ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən/	hằng số tích phân	ký hiệu C
family of antiderivatives	cụm danh từ	/ˈfæm.əl.i əv ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪvz/	họ các nguyên hàm	tập tất cả F(x) + C
general antiderivative	cụm danh từ	/ˈdʒen.ər.əl ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪv/	nguyên hàm tổng quát	tương đương kết quả + C
function	danh từ	/ˈfʌŋk.ʃən/	hàm số	đọc f(x) là “f of x”
differential	danh từ	/ˌdɪf.əˈren.ʃəl/	vi phân	dx trong ký hiệu tích phân
calculus	danh từ	/ˈkæl.kjə.ləs/	giải tích	tên môn học gồm đạo hàm và tích phân
integration by parts	cụm danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən baɪ pɑːts/	tích phân từng phần	tương đương “nguyên hàm từng phần”
integration by substitution	cụm danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən baɪ ˌsʌb.stɪˈtjuː.ʃən/	phép đổi biến số	thường viết tắt là u-substitution

Lưu ý: derivative là đạo hàm, còn antiderivative là nguyên hàm. Hai thuật ngữ liên hệ với nhau qua phép toán ngược, nhưng không thể dùng thay thế cho nhau.

Cách đọc công thức nguyên hàm thành tiếng Anh

Khi làm bài hoặc giảng bài song ngữ, hãy đọc rõ các ký hiệu thay vì chỉ nhìn công thức. Bảng dưới đây có thể dùng như một “kịch bản đọc”, kể cả khi công thức có cách đọc dấu nhân kiểu “x times”.

Công thức	Cách đọc tiếng Anh	Ghi chú phát âm/diễn đạt
∫f(x)dx = F(x) + C	‘The integral of f of x with respect to x equals F of x plus C.’	dx đọc là “with respect to x” hoặc đơn giản là “d x”
∫2x dx = x² + C	‘The integral of two x with respect to x equals x squared plus C.’	x² đọc “x squared”
∫cos x dx = sin x + C	‘The integral of cosine x d x equals sine x plus C.’	cos đọc “cosine”, sin đọc “sine” (không đọc “sin”)
∫e^x dx = e^x + C	‘The integral of e to the x equals e to the x plus C.’	e^x đọc “e to the x” hoặc “e to the power of x”
∫(1/x) dx = ln|x| + C	‘The integral of one over x with respect to x equals the natural log of the absolute value of x plus C.’	ln đọc “natural log”; |x| đọc “absolute value of x”
∫x cos(x²) dx	‘The integral of x times cosine of x squared with respect to x.’	x² trong cos đọc “x squared”

Mẫu câu trình bày kết quả (chép để dùng): ‘So an antiderivative of f(x) is F(x), and the general antiderivative is F(x) plus C.’ — Vậy một nguyên hàm của f(x) là F(x), còn nguyên hàm tổng quát là F(x) cộng C.

Đọc ký hiệu và hằng số tích phân

Dấu ∫ được gọi là “integral sign”. Phần f(x) là integrand, còn dx là differential (vi phân). Phần + C gọi là constant of integration; nếu chưa quen, hãy ôn cách gọi dấu cộng tiếng Anh trước khi đọc “plus C”. Khi đọc, người học thường chỉ nói “plus C”; trong văn nói học thuật không có dạng viết tắt phổ quát nào thay cho cụm đầy đủ.

Đọc kết quả nguyên hàm của hàm lượng giác, mũ và logarit

Ba công thức thường gặp nhất có thể đọc theo mẫu trong bảng trên, hoặc gọn hơn bằng động từ “is” thay cho “equals”:

• ∫cos x dx = sin x + C: ‘The integral of cosine x is sine x plus C.’
• ∫e^x dx = e^x + C: ‘The integral of e to the x is e to the x plus C.’
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C: ‘The integral of one over x is the natural log of the absolute value of x plus C.’

Cụm từ đề bài và tên phương pháp tìm nguyên hàm bằng tiếng Anh

Khi đọc đề tiếng Anh, hãy chú ý động từ để xác định đề yêu cầu gì. Dưới đây là một số câu lệnh quen thuộc trong sách giáo khoa, kèm bản dịch và giải thích.

1. ‘Find an antiderivative of f(x) = 2x.’
→ Dịch: ‘Tìm một nguyên hàm của f(x) = 2x.’
→ Find (tìm) yêu cầu bạn đưa ra một hàm, chẳng hạn x². Không bắt buộc phải ghi + C, nhưng viết x² + C vẫn đúng.

2. ‘Find the general antiderivative of cos x.’
→ Dịch: ‘Tìm nguyên hàm tổng quát của cos x.’
→ Từ khóa general cho biết cần ghi cả họ nguyên hàm: sin x + C. Bỏ + C là thiếu kết quả.

3. ‘Evaluate ∫x² dx.’ / ‘Evaluate the indefinite integral of x².’
→ Dịch: ‘Tính tích phân bất định của x².’
→ Evaluate (tính) yêu cầu tìm kết quả của biểu thức tích phân: x³/3 + C.

4. ‘Evaluate ∫x cos(x²) dx using substitution.’
→ Dịch: ‘Tính ∫x cos(x²) dx bằng phương pháp đổi biến số.’
→ Cụm using substitution yêu cầu bạn dùng phương pháp đổi biến. Nếu đề ghi using integration by parts, bạn phải dùng tích phân từng phần.

5. ‘Verify that F(x) = ln|x| is an antiderivative of f(x) = 1/x.’

→ Dịch: ‘Kiểm chứng rằng F(x) = ln|x| là một nguyên hàm của f(x) = 1/x.’

→ Verify (kiểm chứng) không yêu cầu tìm nguyên hàm mới. Bạn chỉ cần lấy đạo hàm F′(x) và chỉ ra rằng nó bằng f(x).

Nhận diện nhanh: find = tìm một hàm · general = phải có + C · evaluate = tính tích phân · using … = yêu cầu dùng phương pháp được nêu · verify = lấy đạo hàm để kiểm tra.

Nguyên hàm từng phần tiếng Anh là integration by parts; nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là integration by substitution, thường viết tắt là u-substitution.

Tự kiểm tra nhanh cách dùng từ vựng nguyên hàm

Tự chọn đáp án trước, rồi xem phần giải thích ngay dưới mỗi câu.

• ☐ Câu 1 — Điền từ: ‘___ of a function f is a function whose derivative equals f.’

  • Đáp án: An antiderivative. Câu này nói về một hàm, nên không điền ‘indefinite integral’, vốn chỉ phép toán hoặc ký hiệu.

• ☐ Câu 2 — Chọn cách đọc đúng cho ∫e^x dx = e^x + C:

  • A. ‘The integral of e to the x equals e to the x plus C.’
  • B. ‘The derivative of e to the x equals e to the x plus C.’
  • Đáp án: A. Có dấu ∫ thì đọc là ‘integral’; ‘derivative’ nghĩa là đạo hàm, nên không phù hợp với phép toán này.

• ☐ Câu 3 — Dịch thuật ngữ: ‘constant of integration’ nghĩa là gì và ký hiệu ra sao?

  • Đáp án: Hằng số tích phân, ký hiệu C. Đây là phần + C trong kết quả tích phân bất định.

• ☐ Câu 4 — Nhận diện phương pháp: Đề ghi ‘Solve using integration by parts’ thì phải làm gì?

  • Đáp án: Dùng phương pháp tích phân từng phần. Đây không phải đổi biến; đổi biến là substitution hoặc u-substitution.

• ☐ Câu 5 — Điền từ: ‘∫f(x)dx is called the ___ of f.’

  • Đáp án: indefinite integral. Ký hiệu tích phân bất định chỉ phép toán và họ kết quả, không phải một hàm cụ thể.

Chốt quy tắc chọn từ: nói về một hàm thì dùng antiderivative; nói về phép toán hoặc biểu thức ∫…dx thì dùng indefinite integral. Gặp primitive, hãy hiểu là nguyên hàm và đối chiếu quy ước của giáo trình.

Nhìn nhanh

Dữ liệu chính

Thuật ngữ Tiếng Anh	Từ loại	Phiên âm (IPA)	Nghĩa Tiếng Việt	Ghi chú ngắn
antiderivative	danh từ	/ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪv/	nguyên hàm	Nhấn âm chính ở “riv”
primitive (function)	danh từ	/ˈprɪm.ɪ.tɪv/	nguyên hàm	Cách gọi trong một số giáo trình
family of antiderivatives	cụm danh từ	/ˈfæm.əl.i əv ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪvz/	họ các nguyên hàm	Tập tất cả F(x) + C
general antiderivative	cụm danh từ	/ˈdʒen.ər.əl ˌæn.ti.dɪˈrɪv.ə.tɪv/	nguyên hàm tổng quát	Tương đương kết quả + C
indefinite integral	cụm danh từ	/ɪnˈdef.ɪ.nət ˈɪn.tɪ.ɡrəl/	tích phân bất định	Kết quả luôn kèm + C
definite integral	cụm danh từ	/ˈdef.ɪ.nət ˈɪn.tɪ.ɡrəl/	tích phân xác định	Có cận trên/dưới, cho ra một giá trị
integration	danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən/	phép lấy tích phân	Động từ: integrate
integrand	danh từ	/ˈɪn.tɪ.ɡrænd/	hàm dưới dấu tích phân	Trong int f(x)dx thì f(x) là integrand
constant of integration	cụm danh từ	/ˈkɒn.stənt əv ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən/	hằng số tích phân	Ký hiệu C
integration by parts	cụm danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən baɪ pɑːts/	tích phân từng phần	Tương đương “nguyên hàm từng phần”
integration by substitution	cụm danh từ	/ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən baɪ ˌsʌb.stɪˈtjuː.ʃən/	phép đổi biến số	Thường viết tắt là u-substitution
derivative	danh từ	/dɪˈrɪv.ə.tɪv/	đạo hàm	Phép toán ngược với antiderivative
differentiation	danh từ	/ˌdɪf.əˌren.ʃiˈeɪ.ʃən/	phép lấy đạo hàm	Động từ: differentiate
differential	danh từ	/ˌdɪf.əˈren.ʃəl/	vi phân	dx trong ký hiệu tích phân
calculus	danh từ	/ˈkæl.kjə.ləs/	giải tích	Tên môn học gồm đạo hàm và tích phân
function	danh từ	/ˈfʌŋk.ʃən/	hàm số	Đọc f(x) là “f of x”

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm và nguyên hàm tiếng Anh gọi là gì?

Đạo hàm là derivative, còn nguyên hàm là antiderivative. Nếu F'(x) = f(x), thì F là một antiderivative của f.

“Constant of integration” có cách gọi ngắn nào không?

Đây là hằng số tích phân, thường được viết là C. Khi đọc công thức, người học thường nói “plus C”; không có một dạng viết tắt phổ quát thay thế cụm đầy đủ.

“Indefinite integral” có phải lúc nào cũng chỉ một nguyên hàm không?

Cụm này thường chỉ phép tính hoặc biểu thức tích phân bất định, với kết quả gồm họ nguyên hàm và hằng số C. Trong khi đó, “an antiderivative” thường nói đến một hàm cụ thể.

Làm thế nào để nhớ nhanh các cặp thuật ngữ nguyên hàm Anh–Việt?

Ôn theo cặp dễ phân biệt: derivative–đạo hàm, antiderivative–nguyên hàm, indefinite integral–tích phân bất định và definite integral–tích phân xác định. Tự đặt câu với từng cặp giúp kiểm tra cả nghĩa lẫn ngữ cảnh dùng.